已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1．证明：数列{an-12n}为等差数列；求数列{an}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列{an-12n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{an-12n}为等差数列
设bn=an-12n，b1=5-12=2bn+1-bn=an+1-12n+1-an-12n
=12n+1[(an+1-2an)+1]=12n+1[(2n+1-1)+1]=1，（6分）
可知，数列{an-12n}为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）
（2）由（1）知，an-12n=a1-12+(n-1)×1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．（8分）
∴S_n=（2•2¹+1）+（3•2²+1）+…+（n•2^n-1+1）+[（n+1）•2ⁿ+1]．
即S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ+n．
令T_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，①
则2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹．②（12分）
②-①，得T_n=-2•2¹-（2²+2³++2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹+n=n•（2ⁿ⁺¹+1）．（15分）

解析

an-12n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=5且an=2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。