已知数列{an}的前三项分别为a1=5，a2=6，a3=8，且数列{an}的前n项和Sn满足Sn+m=12(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整

题文

已知数列{a_n}的前三项分别为a₁=5，a₂=6，a₃=8，且数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn+m=12(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求满足Sn2-32an+33=k2的所有正整数k，n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在等式Sn+m=12(S2n+S2m)-(n-m)2中，
分别令m=1，m=2，得
Sn+1=12(S2n+S2)-(n-1)2，①
Sn+2=12(S2n+S4)-(n-2)2，②
②-①，得an+2=2n-3+S4-S22，
在等式Sn+m=12(S2n+S2m)-(n-m)2中，
令n=1，m=2，得
S3=12(S2+S4)-1，
由题设知，S₂=11，S₃=19，
故S₄=29，
所以a_n+2=2n+6，（n∈N^*），
即a_n=2n+2，（n≥3，n∈N^*），
又a₂=6也适合上式，
故an=5，n=12n+2，n≥2，即Sn=n2+3n+1，n∈N*．
（2）记Sn2-32an+33=k2，（*）
n=1时，无正整数k满足等式（*）
n≥2时，等式（*）即为（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，
①当n=10时，k=131．
②当n＞10时，则k＜n²+3n+1，
∵k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，
∴k＞n²+3n，
从而n²+3n＜k＜n²+3n+1，
∵n，k∈N^*，∴k不存在，从而无正整数k满足等式（*）．
③当n＜10时，则k＞n²+3n+1，
∵k∈N^*，∴k≥n²+3n+2，
从而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²．
即2n²+9n-27≤0，
∵n∈N^*，∴n=1或2．
n=1时，k²=52，无正整数解；
n=2时，k²=145，无正整数解．
综上所述，满足等式（*）的n，k分别为n=10，k=131．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前三项分别为a1=5，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。