已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an．若bn=n+1，求a4；若bn+1bn-1=bn，且b1=a，b2

题文

已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N^*，定义b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ） 若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0）．
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a₁=1及b_n=n+1，令n=1，得到a₂=a₁+b₁=1+2=3，
令n=2，得到a₃=a₂+b₂=3+3=6，
令n=4，得到a₄=a₃+b₃=6+4=10；
（Ⅱ）（ⅰ）因为b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
所以，对任意的n∈N^*有bn+6=bn+5bn+4=1bn+3=bn+1bn+2=bn，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．（5分）
又数列{b_n}的前6项分别为1，2，2，1，12，12，且这六个数的和为7．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，
则当n=2k（k∈N^*）时，S_3n=S_6k=k（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）=7k，
当n=2k+1（k∈N^*）时，S_3n=S_6k+3=k（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）+b_6k+1+b_6k+2+b_6k+3=7k+b₁+b₂+b₃=7k+5，（7分）
所以，当n为偶数时，S3n=72n；当n为奇数时，S3n=7n+32．（8分）
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n∈N^*有b_n+6=b_n，
又数列{b_n}的前6项分别为1，b，b，1，1b，1b，且这六个数的和为2b+2b+2．
设c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5+b_6n+i+6=2b+2b+2．
所以，数列{a_6n+i}均为以2b+2b+2为公差的等差数列．（10分）
因为b＞0时，2b+2b+2＞0，b＜0时，2b+2b+2≤-2＜0，（12分）
所以{a_6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次．
所以数列{a_n}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次．（14分）

解析

bn+5bn+4

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。