已知复数zn=an+bn•i，其中an∈R，bn∈R，n∈N*，i是虚数单位，且zn+1=2zn+.zn+2i，z1=1+i．求数列{an}，{bn}的通

题文

已知复数z_n=a_n+b_n•i，其中a_n∈R，b_n∈R，n∈N^*，i是虚数单位，且zn+1=2zn+.zn+2i，z₁=1+i．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求和：①z₁+z₂+…+z_n；②a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵z₁=a₁+b₁•i=1+i，∴a₁=1，b₁=1．
由zn+1=2zn+.zn+2i，得a_n+1+b_n+1•i=2（a_n+b_n•i）+（a_n-b_n•i）+2i=3a_n+（b_n+2）•i，
∴an+1=3anbn+1=bn+2，
∴数列{a_n}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{b_n}是以1为首项公差为2的等差数列，
∴an=3n-1，b_n=2n-1；
（2）由（1）知an=3n-1，b_n=2n-1．
①z₁+z₂+…+z_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）•i
=（1+3¹+3²+…+3^n-1）+（1+3+5+••+2n-1）•i
=12(3n-1)+n2•i．
②令S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，Sn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)（Ⅰ）
将（Ⅰ）式两边乘以3得，3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)（Ⅱ）
将（Ⅰ）减（Ⅱ）得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)．
∴-2Sn=-2+3n(-2n+2)，
所以Sn=(n-1)•3n+1．

解析

.zn

考点

据考高分专家说，试题“已知复数zn=an+bn•i，其中an∈.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。