给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…．，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．

题文

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a₁，a₂，a₃，…．，试求 S=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设公差为d，a_n+1=a，
则S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a+n(n+1)2d．
同除以（n+1），得 a+nd2=Sn+1．
则M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2=
410(a+nd2)2+110(4a-3nd)2≥410(Sn+1)2
因此|S|≤102（n+1）M，
且当 a=310M，d=410•1nM 时，
S=（n+1）〔310M+n2•410•1nM〕
=（n+1）510M=102（n+1）M
由于此时4a=3nd，故 a12+an+12=410(Sn+1)2=410•104M=M．
所以，S的最大值为102（n+1）M．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“给定正整数n和正数M，对于满足条件a12.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。