已知数列{an}中，a1=12，an=1-1an-1，则S2009=______．

题文

已知数列{a_n}中，a₁=12，a_n=1-1an-1 （n≥2），则S₂₀₀₉=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁=12，a_n=1-1an-1 （n≥2），
∴a₂=1-112=1-2=-1；
a₃=1-1a2=1-（-1）=2；
同理可求a₄=12，a₅=-1，a₆=2…
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，S₃=12-1+2=32．
∴S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉
=669S₃+a₁+a₂
=669×32+12-1
=1003．
故答案为：1003．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=12，an=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。