已知等差数列{an}，a1=29，S10=S20，问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．

题文

已知等差数列{a_n}，a₁=29，S₁₀=S₂₀，
（1）问这个数列的前多少项的和最大？（2）并求最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S₂₀=S₁₀得：2a₁+29d=0，又a₁=29，∴d=-2
∴a_n=29+（-2）（n-1）=31-2n，
∴Sn=n(a1+an)2=-n2+30n=-(n-15)2+225，
∴当n=15时，S_n最大，最大值为225．
（2）：由S₂₀=S₁₀得：a₁₁+a₁₂+…+a₂₀=0，即5（a₁₅+a₁₆）=0，①
∵a₁=29＞0，∴a₁₅＞0，a₁₆＜0，
故当n=15时，S_n最大，由①得：2a₁+29d=0，∴d=-2，∴a₁₅=29+（-2）（15-1）=1，
∴S_n的最大值为S15=15(29+1)2=225．

解析

n(a1+an)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}，a1=29，S10.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。