已知数列{an}满足a1=1，a2=12，an-1an+anan+1=2an-1an+1．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}的前n项和为Sn=

题文

已知数列{a_n}满足a1=1，  a2=12，  an-1an+anan+1=2an-1an+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为Sn=1-12n，试求数列{bnan}的前n项和T_n；
（Ⅲ）记数列{1-a2n}的前n项积为∏limitsni=2(1-a2i)，试证明：12＜∏limitsni=2(1-a2i)＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由an-1an+anan+1=2an-1an+1⇒an(an-1+an+1)=2an-1an+1⇒an-1+an+1an-1an+1=2an
⇒1an+1+1an-1=2an⇒1an+1-1an=1an-1an-1．
而a1=1且1a2-1a1=2-1=1，
因此{1an}是首项为1，公差为1的等差数列．
从而1an=1+1×(n-1)=n⇒an=1n．
（Ⅱ）当n=1时，b1=S1=1-12=12．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(1-12n)-(1-12n-1)=12n．
而b₁也符合上式，故bn=12n，从而：bnan=n2n．
所以Tn=121+222+323+…+n2n⇒12Tn=122+223+324+…+n2n+1．
将上面两式相减，可得：12Tn=121+122+123+…+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1⇒Tn=2-n+22n．
（Ⅲ）因为1-a2n=1-(1n)2=(1+1n)(1-1n)=n+1n•n-1n．
故∏limitsni=2(1-a2i)=(32•12)•(43•23)•(54•34)•…•(n+1n•n-1n)=(32•43•54•…•n+1n)•(12•23•34•…•n-1n)n+12•1n=12(1+1n)．
由于n≥2，n∈N^*，故0＜1n≤12，从而12＜12(1+1n)≤34＜1，即12＜∏limitsni=2(1-a2i)＜1．

解析

an-1+an+1an-1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=12.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。