已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．求数列{an}的通项公式；设bn=anlog12an

题文

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=anlog12an，求数列{bn}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8
∴a₂+a₄=20
∴a1q+a1q3=20a3=a1q2=8
∴q=2a1=2或q=12a1=32
∵数列{a_n}单调递增
∴a_n=2ⁿ
（II）∵a_n=2ⁿ
∴b_n=2n•log122n=-n•2ⁿ
∴-s_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ    ①
∴-2s_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹  ②
∴①-②得，
s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2

解析

a1q+a1q3=20a3=a1q2=8

考点

据考高分专家说，试题“已知单调递增的等比数列{an}满足：a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。