已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12对一切正整数n成立证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；设b

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=12（3n+S_n）对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=n3an，求数列{b_n}的前n项和B_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知得S_n=2a_n-3n，
S_n+1=2a_n+1-3（n+1），两式相减并整理得：a_n+1=2a_n+3
所以3+a_n+1=2（3+a_n），又a₁=S₁=2a₁-3，a₁=3可知3+a₁=6≠0，进而可知a_n+3≠0
所以3+an+13+an=2，故数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+a_n=6•2^n-1，即a_n=3（2ⁿ-1）
（II）b_n=n（2ⁿ-1）=n2ⁿ-n
设T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ（1）2T_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（2）
由（2）-（1）得T_n=-（2+2²+2³++2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=-2-2n+11-2+n2n+1=2+(n-1)2n+1∴Bn=Tn-(1+2+3++n)=2+(n-1)2n+1-n(n+1)2

解析

3+an+13+an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。