正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+1．求数列{an}的通项公式；设bn=1an•an+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜

题文

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2Sn=an+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=1an•an+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵2S1=a1+1，
∴a₁=1．
∵a_n＞0，2Sn=an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²．①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）．②
①-②，得4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
而a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)．
T_n=b₁+b₂++b_n=12(1-13)+12(13-15)++12(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)＜12．

解析

S1

考点

据考高分专家说，试题“正项数列{an}的前n项和为Sn，且2S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。