已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2，过点An作该抛物线Cn的切线ln与y轴交于点Bn，Fn是Cn的焦点，△AnBn

题文

已知一系列的抛物线C_n的方程为y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），过点A_n（n，a_nn²）作该抛物线C_n的切线l_n与y轴交于点 B_n，F_n是 C_n的焦点，△A_nB_nF_n的面积为n³
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1+32≤a_n＜2；
（3）设b_n=2a_n-a_n²，求证：当n≥1时，b1+2b2+3b3+…+nbn＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）A_n（n，a_nn²）在抛物线C_n上，
∵y=a_nx²，
∴y^′=2a_nx，
则切线l_n的斜率为2a_nn，
切线方程为  y-a_nn²=2 a_nn（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-a_nn²，，
∴B_n（0，-a_nn²），
又F_n（0，14an）
∴S_△AnBnFn=12（14an+a_nn²）n=n³
∴14an+a_nn²=2n²，即4n²a_n²-8n²a_n+1=0，…（3分）
∴△=64n⁴-16n²=16n²（4n²-1）＞0，
∵a_n＞1，
∴a_n=1+12n4n2-1…（4分）
（2）证明：∵a_n=1+12n4n2-1=1+1-14n2，
{a_n}为递增数列，
∴a_n≥1+1-14=1+32．…（6分）
又a_n＜1+1=2，
∴1+32≤a_n＜2．…（8分）
（3）．证明：bn=2an-a2n=14n2…（9分）
∴b1+2b2+3b3+…+nbn=14(112+222+332+…+nn2)
∵k≥2时，kk2=1k•k•k=2(k+k)k•k＜2(k+k-1)k•k-1
=2(k-k-1)k•k-1=2(1k-1-1k)…（12分）
∴b1+2b2+3b3+…+nbn≤14[1+2(1-12+12-13+…+1k-1-1k)]
=14[1+2(1-1n)]=14(3-2n)＜34…（14分）

解析

14an

考点

据考高分专家说，试题“已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。