已知数列{an}满足a1=1，a2=12，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]求a3，a4，a5，a6的值及数

题文

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=12，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）分别令n=1，2，3，4
可求得：a3=3，a4=14，a5=5，a6=18
当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N^*，则a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}为等差数列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1即a_m=n．
当n为偶数时，设n=2m，m∈N^*，则2a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}为等比数列，a2m=12•(12)m-1=12m，故an=(12)n2．
综上所述，an=n，(n为奇)(12)n2，(n为偶数)
（2）bn=a2n-1•a2n=(2n-1)•12n
∴Tn=1×12+3×122+5×123++(2n-1)•12n
∴12Tn=1×122+3×122++(2n-3)•12n+(2n-1)•12n，
两式相减：12Tn=12+2[122+123++12n]-(2n-1)•12n+1
=12+2•14(1-12n-1)1-12-(2n-1)•12n+1
∴Tn=3-2n+32n，故T_n＜3．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=12.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。