已知数列{Sn}的前n项和为Sn=n2+n．求数列{an}的通项公式；令bn=an×2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

已知数列{S_n}的前n项和为S_n=n²+n．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=a n×2n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当n=1时，a₁=s₁=2
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n
n=1时，也适合上式．
∴a_n=2n
（II）由已知：bn=2n•2n=n•2ⁿ⁺¹
Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1①
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²②
①-②得-Tn=22+23+…+2n+1-n•2n+2
=4(1-2n)1-2-n•2n+2=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
∴Tn=(n-1)•2n+2+4

解析

4(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{Sn}的前n项和为Sn=n2+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。