数列{an}中，Sn=4-an-12n-2．求a1，a2，a3，a4；猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．

题文

数列{a_n}中，Sn=4-an-12n-2．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵Sn=4-an-12n-2，∴a1=4-a1-121-2，即a₁=1，
∵S2=4-a2-122-2，即a₁+a₂=4-a₂-1，∴a₂=1，
∵S3=4-a3-123-2，即a₁+a₂+a₃=4-a₃-12，∴a₃=34，
∵S4=4-a4-124-2，即a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄-14，∴a₃=12，
（Ⅱ）猜想an=n2n-1
证明如下：①当n=1时，a₁=1，此时结论成立；
②假设当n=k（k∈N^*）结论成立，即a k=k2k-1，
那么当n=k+1时，有Sk=4-ak-12k-2=4-2k2k-42k=4-2k+42k
∵Sk+1=4-ak+1-12k-1=Sk+ak+1
∴2ak+1=4-12k-1-4+2k+42k=2k+4-22k=2k+22k即ak+1=k+12k，
这就是说n=k+1时结论也成立．
根据①和②，可知对任何n∈N^*时an=n2n-1．

解析

12n-2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，Sn=4-an-12n-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。