根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值依次分别记为a1，a2，…，an，…，a2008；b1，b2，…，bn，…，b2008．求数列{an}的通项公式；

题文

根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈；b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求数列 { a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）写出b₁，b₂，b₃，b₄，由此猜想{ b_n}的通项公式，并证明你的证明；
（Ⅲ）在 a_k与 a_k+1中插入b_k+1个3得到一个新数列 { c_n }，设数列 { c_n }的前n项和为S_n，问是否存在这样的正整数m，使数列{ c_n }的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a₁=1，a_n+1=a_n+1，∴{ a_n}是公差为1的等差数列．∴a_n=n．
（Ⅱ）b₁=0，b₂=2，b₃=8，b₄=26，
猜想b_n=3^n-1-1．证明如下：b_n+1=3b_n+2，b_n+1+1=3（b_n+1），
∴{ b_n+1}是公比为3的等比数列．∴b_n+1=（b₁+1）3^n-1=3^n-1．则b_n=3^n-1-1．
（Ⅲ）数列{c_n}中，a_k项（含a_k）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=k(k+1)2+3k-32，
估算知，当k=7时，其和是28+37-32=1120＜2008，当k=8时，其和是36+38-32=3315＞2008，又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
故存在这样的m，使得S_m=2008，此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．

解析

k(k+1)2

考点

据考高分专家说，试题“根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。