已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn=2-an．求数列{an}的通项公式；记bn=an+n，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n=2-a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 记b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，2S₁=2-a₁，2a₁=2-a₁，∴a1=23；
当n≥2时，2Sn=2-an2Sn-1=2-an-1，
两式相减得2a_n=a_n-1-a_n（n≥2），
即3a_n=a_n-1（n≥2），又a_n-1≠0∴anan-1=13（n≥2），
∴数列a_n是以23为首项，13为公比的等比数列，
∴an=23•(13)n-1=2•(13)n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2•(13)n+n，
∴Tn=2[13+(13)2+(13)3+…+(13)n]+(1+2+3+…+n)=2×13[1-(13)n]1-13+(n+1)n2
=1-(13)n+n2+n2．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和是Sn，且2S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。