设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，Sn=13(an+1-1)，n∈N*．写出a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；记bn=1log

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，S_n=13(an+1-1)，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=1log4an+1log4an+2，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与1的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知易得：a₂=4，a₃=16   …（2分）
当n≥2时，由a_n+1=3S_n+1可得a_n=3S_n-1+1，两式相减得：a_n+1=4a_n，
又由于a₁=1，a₂=4，
所以数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以其通项公式为：a_n=4^n-1（n∈N^*）…（6分）
（2）由（1）可知bn=1log4an+1log4an+2=1(n+1)n=1n-1n+1…（8分）
则T_n=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1＜1…（12分）

解析

1log4an+1log4an+2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。