设数列{an}满足a1=13，an+1=an2+an，记Sn=11+a1+11+a2+…+11+an，则S10的整数部分为A．1B．2C．3

题文

设数列{a_n}满足a1=13，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N^*），记Sn=11+a1+11+a2+…+11+an，则S₁₀的整数部分为（ ）A．1B．2C．3D．4 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵数列{a_n}满足a1=13，a_n+1=a_n²+a_n=a_n（a_n+1）（n∈N^*），
∴1an+1=1an(an+1)=1an×1an+1=1an-1an+1，
∴1an+1=1an-1an+1，
∴S10=1a1-1a2+1a2-1a3+…+1a10-1a11=1a1-1a11，
∵a1=13，
a2=19+13 =49，
a3=1681+49=5281，
a4=27046561+5281＞1，
又a_n+1＞a_n，
∴a₁₁＞1，
∴0＜1a11＜1，
∵1a1=3，
∴S₁₀的整数部分是2．
故选B．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=13，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。