已知数列{an}满足3an+1+an=4且a1=9，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|＜1125的最小整数n是A．5B．6C．7

题文

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜1125的最小整数n是（ ）A．5B．6C．7D．8 题型：未知 难度：其他题型

答案

对3a_n+1+a_n=4 变形得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1）
即：an+1-1an-1=-13
故可以分析得到数列b_n=a_n-1为首项为8公比为-13的等比数列．
所以b_n=a_n-1=8×(-13)n-1
a_n=8×(-13)n-1+1=b_n+1
所以Sn=Sbn+n=8[1-(-13)n]1-(-13)+n=6-6×(-13)n+n
|S_n-n-6|=|-6×(-13)n|＜1125
解得最小的正整数n=7
故答案为C．

解析

an+1-1an-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足3an+1+an=4.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。