设函数f=2x2x+2的图象上两点P1、P2，若OP=12，且点P的横坐标为12．求证：P点的纵坐标为

题文

设函数f（x）=2x2x+2的图象上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若OP=12（OP1+OP2），且点P的横坐标为12．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（1n）+f（2n）+A+f（n-1n）+f（nn）
（3）记T_n为数列{1(Sn+2)(Sn+1+2)}的前n项和，若T_n＜a（S_n+1+2）对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证：∵OP=12（OP1+OP2），
∴P是P₁P₂的中点⇒x₁+x₂=1------（2分）
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=2x12x1+2+2x22x2+2=2x12x1+2+21-x121-x1+2=2x12x1+2+22•2x1+2=1．
∴yp=12(y1+y2)=12．．-----------------------------（4分）
（2）由（1）知x₁+x₂=1，f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2-2，
S_n=f（1n）+f（2n）+…+f（n-1n）+f（nn），
S_n=f（nn）+f（n-1n）+…+f（2n）+f（1n），
相加得 2S_n=f（1）+[f（1n）+f（n-1n）]+[f（2n）+f（n-2n）]+…+[f（n-1n）+f（1n）]+f（1），
=2f（1）+n-1=n+3-22
∴Sn=n+3-222．------------（8分）
（3）1(Sn+2)(Sn+1+2)=1n+32•n+42=4(n+3)(n+4)=4(1n+3-1n+4)，
Tn=4[(14-15)+(15-16)+…+(1n+3-1n+4)]--------------------（10分）
Tn＜a(Sn+1+2)⇔a＞TnSn+1+2=2n(n+4)2=2n+16n+8
∵n+16n≥8，当且仅当n=4时，取“=”
∴2n+16n+8≤28+8=18，因此，a＞18-------------------（12分）

解析

OP

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=2x2x+2的图象上两点.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。