设xn={1，2…，n}，对xn的任意非空子集A，定义f为A中的最小元素，当A取遍xn的所有非空子集时，对应的f的和为Sn，则：①S3=

题文

设x_n={1，2…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最小元素，当A取遍x_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=______，②S_n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
故有2^n-1个子集含1，有2^n-2个子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^k-1个子集不含1，2，3…k-1，而含k．
所以S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+n
S_n=n•1+（n-1）•2+…+2•2^n-2+1•2^n-1…①
所以2S_n=n•2+（n-1）•4+…+2•2^n-1+1•2ⁿ…②
所以①-②可得-S_n=n-（2+4+…+2^n-1+2ⁿ）
所以S_n=2ⁿ⁺¹-n-2
所以S₃=11．
故答案为①S₃=11，②S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设xn={1，2…，n}（n∈N+），对.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。