已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n项和Sn满足Sn=f．求an的表达式；

题文

已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记dn=14|Dn+1Dn|-1，若Cn=d2n+1+d2n2dn+1dn，求数列c_n的前n 项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=(Sn-1+2)2得：Sn-Sn-1=2，所以数列{Sn}是以2为公差的等差数列．
∴Sn=2n，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由y=anx+bny=x2⇒x2-anx-b n=0，
据题意方程有相等实根，
∴△=a_n²+4b_n=0，
∴bn=-14an2=-14(4n-2)2=-（2n-1）²，
当n∈N⁺时，dn=14|bn-bn+1|-1=14|-(2n-1)2+(2n+1)2|-1=2n-1，
∴Cn=(2n+1)2+(2n-1)22(4n2-1)=8n2+22(4n2-1)=4n2+14n2-1=1+(12n-1-12n+1)，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=n+(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n-1-12n+1)
=n+1-12n+1=2n2+3n2n+1．

解析

Sn-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0).....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。