设函数y=f(x)=2x2x+2上两点p1，p2，若op=12(op1+op2)，且P点的横坐标为12．求P点的纵坐标；

题文

设函数y=f(x)=2x2x+2上两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），若op=12(op1+op2)，且P点的横坐标为12．
（1）求P点的纵坐标；
（2）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(nn)，求S_n；
（3）记T_n为数列{1(Sn+2)(Sn+1+2)}的前n项和，若Tn＜a(Sn+2+2)对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵OP=12(OP1+OP2)，∴P为P₁P₂的中点，∴x₁+x₂=1
∴y₁+y₂=2x12x1+2+2x22x2+2=1
∴P的纵坐标为12；
（2）由（1）知，x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，f（1）=2-2
∵Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(nn)，Sn=f(nn)+f(n-1n)+…+f(2n)+f(1n)
∴2Sn=(n-1)+2(2-2)=n+3-22
∴Sn=n+3-222；
（3）Sn+2=n+32，Sn+1+2=n+42
∴1(Sn+2)(Sn+1+2)=4(n+3)(n+4)=4（1n+3-1n+4）
∴T_n=4（14-15+15-16+…+1n+3-1n+4）=nn+4
∵Tn＜a(Sn+2+2)对一切n∈N^*都成立
∴a＞TnSn+2+2=2n+20n+9
设g（n）=n+20n，则g（n）在[20，+∞）上是增函数，在（0，20）上是减函数
∴g（n）的最小值为9
∴2n+20n+9＜19
∴a＞19．

解析

OP

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f(x)=2x2x+2上两点p.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。