设一次函数f的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f=0．若点在曲线C上，并且a1=a2=1．求曲线C的

题文

设一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（-1）=0．若点（n+1，an+1an）（n∈N^*）在曲线C上，并且a₁=a₂=1．
（1）求曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=a12!+a23!+…+an(n+1)!，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设f（x）=ax+b（a≠0），则C的方程为y=1a(x-b)
由f（-1）=0可得-a+b=0①
由（2，a2a1）在曲线C上可得，1=1a(2-b)
①②联立可得，a=b=1
曲线C的方程为y=x-1
（2）由点（n+1，an+1an）在曲线C上可得，an+1an=n
∴anan-1•an-1an-2…a2a1=(n-1)!
即ana1=(n-1)!
∵a₁=1
∴a_n=（n-1）!
（3）sn=0!2!+1!3!+…+(n-1)!(n+1)!
=12×1+13×2+…+1(n+1)n
=1-12+12-13+…+1n-1n+1
=1-1n+1=nn+1

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“设一次函数f（x）的图象关于直线y=x对.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。