已知数列{an}满足a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，记bn=a2n，n∈N*．求a2，a3；求数列{bn}的通项公式

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，记b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求S_2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=2时，a₂=12a1+1=12+1=32；
当n=3时，a₃=a₂-2×2=32-4=-52．
（2）当n≥2时，b_n=a_2n=a_（2n-1）+1=12a_2n-1+（2n-1）
=12[a_2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=12a_2（n-1）+1=12b_n-1+1
∴b_n-2=12（b_n-1-2），又b₁-2=a₂-2=-12，
∴b_n-2=-12•（12）^n-1=-（12）ⁿ，即b_n=2-（12）ⁿ．
（3）∵a_2n+1=a_2n-4n=b_n-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1
=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）
=1+2（2n-12[1-(-12)n]1-12）-4×n(n+1)2
=（12）^n-1-2n²+2n-1．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。