已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．求数列{an}、{bn}的通项公式；设cn=1bnb

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=1bnbn+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，问T_n＞10012012的最小正整数n是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
即 anan-1=2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=1bnbn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)…（10分）
∴Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1…（12分）
由T_n＞10012012，得n2n+1＞10012012，解得n＞100.1
∴T_n＞10012012的最小正整数n是101…（14分）

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。