已知数列{an}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a2=6．设bn=ann(n-1)(n≥2)，b1=3，求数列{bn}的通项公

题文

已知数列{a_n}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a₂=6．
（1）设bn=ann(n-1)(n≥2)，b1=3，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设un=ann+c(n∈N*)，c为非零常数，若数列{u_n}是等差数列，记cn=un2n，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，
∴（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-（n+1）
当n≥2时，an+1(n+1)n-ann(n-1)=-1n(n-1)
而bn=ann(n-1)(n≥2)
∴b_n+1-b_n=1n-1n-1（n≥2）
∵a₂=6∴b₂=a22=62=3
∵b₃-b₂=12-1
b₄-b₃=13-12
…
b_n-b_n-1=1n-1-1n-2（n≥3）
将这些式子相加得b_n-b₂=1n-1-1
∴b_n=1n-1+2（n≥3）
b₂=3也满足上式，b₁=3不满上式
∴bn=3，n=12+1n-1，n＞1
（2）an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，令n=1得a₁=1
∵bn=ann(n-1)(n≥2)
∴a_n=2n²-n（n≥2）
而a₁=1也满足上式
∴a_n=2n²-n
∵un=ann+c(n∈N*)，数列{u_n}是等差数列
∴un=ann+c=n(2n-1)n+c是关于n的一次函数，而c为非零常数
∴c=-12，u_n=2n
∴cn=un2n=2n2n，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×12+4×(12)2+…+2n×(12)n
12S_n=2×(12)2+4×(12)3+…+2n×(12)n+1
两式作差得12S_n=2×(12)2+2×(12)3+…+2×(12)n-2×(12)n+1
∴Sn=4-n+22n-1

解析

an+1+an-1an+1-an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1+an-1a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。