在数列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an．求a2，a3，a4；猜想an；若数列bn=ann，求数列{bn}

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2an2+an （n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n；（不用证明）
（Ⅲ）若数列b_n=ann，求数列{b_n}的前n项和s_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2an2+an
∴a₂=2a12+a1=23，a₃=2a22+a2=24，a₄=2a32+a3=25．
（Ⅱ）猜想：a_n=2n+1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=ann=2n(n+1)=2（1n-1n+1）
从而S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=2（1-1n+1）=2nn+1

解析

2an2+an

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。