若数列{an}的前n项和Sn是n二项展开式中各项系数的和．求{an}的通项公式；若数列{bn}满足b1=-1，bn+

题文

若数列{a_n}的前n项和S_n是（1+x）ⁿ二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=an•bnn，求数列{c_n}的通项及其前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意S_n=2ⁿ，S_n-1=2^n-1（n≥2），
两式相减得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
当n=1时，a₁=S₁=2，
∴a_n=2       n=12n-1   n≥2．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b_n-b_n-1=2n-3
b_n-1-b_n-2=2n-5
…
b₄-b₃=5
b₃-b₂=3
b₂-b₁=1，
以上各式相加得b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）
=(n-1)(1+2n+3)2=（n-1）²
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．
∴cn=-2，n=1(n-2)×2n-1，n≥2．
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ．
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ
=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ．
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．

解析

2       n=12n-1   n≥2

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。