在等比数列{an}中，an＞0，且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=an

题文

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等比数列{a_n}的公比为q．
由a₁a₃=4可得a₂²=4，（1分）
因为a_n＞0，所以a₂=2（2分）
依题意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q（3分）
因为a₃＞0，所以，q=2..（4分）
所以数列{a_n}通项为a_n=2^n-1（6分）
（II）b_n=a_n+1+log₂a_n=2ⁿ+n-1（18分）
可得Sn=(2+22+23++2n)+[1+2+3++(n-1)]=2(1-2n)1-2+(n-1)n2（12分）
=2n+1-2+n(n-1)2（13分）

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。