设数列n2an的前n项和为Sn，且Sn=n，n∈N*．求数列an的通项公式；若数列bn满足bn=a1a2a3…an，n∈N*，求

题文

设数列n²a_n的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n+2），n∈N^*．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）若数列b_n满足b_n=a₁a₂a₃…a_n，n∈N^*，求数列b_n的通项公式及前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，求证：3b1+322b2+333b3+…+3nnbn=nn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=6；
当n≥2时，S_n=n（n+1）（n+2）①
S_n-1=（n-1）n（n+1）②
由①-②得：n²a_n=3n（n+1），即an=3(n+1)n．
综上得：an=3(n+1)n．（4分）
（2）因为an=3(n+1)n，
所以bn=a1a2a3an=3×21×3×32×3×43××3(n+1)n=3n(n+1)．
故b_n=3ⁿ（n+1）．（6分）
T_n=2•3+3•3²+4•3³+…+n•3^n-1+（n+1）•3ⁿ．③
3T_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+n•3ⁿ+（n+1）•3ⁿ⁺¹．④
③-④得：-2T_n=2•3+3²+3³+…+3ⁿ-（n+1）•3ⁿ⁺¹=12•3n+1+ 32-(n+1)•3n+1
化简得：Tn=(n2+14)•3n+1-34．（9分）
（3）由b_n=3ⁿ（n+1），得3nbn=1n+1，等式两端同时乘以1n，
得3nnbn=1n(n+1)．则有
3b1+322b2+ 333b3+…+3nnbn=11×2+12×3+13×4+…1n(n+1)
1-12+12-13+…+ 1n-1n+1
=1-1n+1
=nn+1．（12分）

解析

3(n+1)n

考点

据考高分专家说，试题“设数列n2an的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。