已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2，a1=1，其中Sn是数{an}的前n项和．求a2及通项an；记数列{1ana

题文

已知正项数列{a_n} 满足S_n+Sn-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数{a_n} 的前n项和．
（1）求a₂及通项a_n；
（2）记数列{1anan+1}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N⁺都成立，求证：0＜t≤1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=1，S₂+S₁=ta₂²+2得a₂=0（舍去）或a2=1t，
又S_n+Sn-1=ta_n²+2    （1）
S_n-1+S_n-2=ta_n-1²+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3），
因为数列{a_n}为正项数列，∴an-an-1=1t(n≥3)，
即数列{a_n}从第二项开始是公差为1t的等差数列．∴an= 1(n=1)n-1t(n≥2)----7 分
（2）当n=时T₁=t＜2；
n≥2时，T_n=t+t21×2+t22×3+…+t2(n-1)n=t+t2n-1n
要使T_n＜2对所有n∈N^*恒成立，只t+t2n-1n≤2成立，
故0t≤1得证----（14分）

解析

1t

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。