已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2-x+3k•2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k．求

题文

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（Ⅲ）记f(n)=12(|sinn|sinn+3)，Tn=(-1)f(2)a1a2+(-1)f(3)a3a4+(-1)f(4)a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n，求证：16≤Tn≤524(n∈N*)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根为x₁=3k，x₂=2^k，
当k=1时，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；
当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8时；
当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12．
（II）S_2n=a₁+a₂++a_2n=（3+6++3n）+（2+2²++2ⁿ）=3n2+3n2+2n+1-2．
（III）证明：Tn=1a1a2+1a3a4-1a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n，
所以T1=1a1a2=16，T2=1a1a2+1a3a4=524．当n≥3时，Tn=16+1a3a4-1a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n，≥16+1a3a4-(1a5a6+…+1a2n-1a2n)≥16+16•22-16(123+…+12n)=16+16•22-124(1-12n-3)＞ 16，
同时，Tn=524-1a5a6-1a7a8+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n≤524-1a5a6+(1a7a8+…+1a2n-1a2n)≤524-19•23+19(124+…+12n)=524-19•23+19•123(1-12n-3)＜ 524．
综上，当n∈N*时，16≤Tn≤524．

解析

3n2+3n2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。