已知正项数列{an}满足：a1=3，an+2=an-1+8n2，设bn=1an，数列{bn}的前n项的和Sn，则Sn

题文

已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*），设bn=1an，数列{b_n}的前n项的和S_n，则S_n的取值范围为（ ）A．(0，12)B．[13，12)C．(13，12)D．[13，12] 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N*），
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=2（4n²-1），
又n＞1，等式两端同除以4n²-1得：
an2n+1-an-12n-1=2，即数列{an2n+1}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an2n+1=1+(n-1)×2=2n-1，
∴1an=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
∴s_n=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=n2n+1．当n=1时，s1=13；n→+∞时，sn→12
∴13≤ sn＜12，
故答案为B．

解析

an2n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}满足：a1=3，（2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。