已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有an+1=3an+5，an为奇数an2k，an为偶数，其中k为使an+1为奇数的正

题文

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=3an+5，an为奇数an2k，an为偶数，其中k为使an+1为奇数的正整数．当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₂₀=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁=1，∴a₂=3a₁+5=8，a₃=a22k=82k，取k=1，2时，a₃为偶数，应舍去；当k=3时，a₃=1．
∴a₄=3a₃+5=8．
…．
∴数列{a_n}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．
∴S_2k=k×1+k×8=9k，S_2k-1=S_2k-8，
∴S₂+S₄+…+S₁₀=9×（1+2+…+5）=135．
∴S₁+S₃+…+S₉=（S₂-8）+（S₄-8）+…+（S₁₀-8）=135-8×5=95．
∴S₁+S₂+…+S₂₀=135+95=230．
故答案为230．

解析

a22k

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。