已知数列{an}的通项为an，前n项的和为Sn，且有Sn=2-3an．求an；求数列{nan}的前n项和．

题文

已知数列{a_n}的通项为a_n，前n项的和为S_n，且有S_n=2-3a_n．
（1）求a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n=1时，s₁=2-3a₁
∴a₁=12
当n≥2时3a_n=2-S_n①
3a_n-1=2-S_n-1②
①-②得   3（a_n-a_n-1）=-a_n，
∴4an=3an-1⇒anan-1=34
∵{a_n}是公比为34，首项为12的等比数列，an=12(34)n-1
（2）∵an=12(34)n-1=23•34(34)n-1=23•(34)n
Tn=23[1•(34)+2•(34)2+…+n•(34)n]①
34Tn=23[1•(34)2+2•(34)3+…+n•(34)n+1]②
①-②得   14Tn=23[1•(34)+(34)2+…+(34)n-n•(34)n+1]
∴Tn=83[34[1-(34)n]1-34-n•(34)n+1]=8[1-(34)n]-83n•(34)n+1
=8-8(34)n-83n(34)n+1=8-(34)n[8+83n•34]=8-(34)n(8+2n)

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的通项为an，前n项的和.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。