已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{an}的首项a1=1，an+1=f．求函数f的表

题文

已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=π3，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）tan2α=2tanα1-tan2α=2(2-1)1-(2-1)2=1
∴sin(2α+π4)=sin2α•cosπ4+cos2α•sinπ4=22(sin2α+cos2α)
=22×2sinα•cosα+(cos2α-sin2α )sin2α+cos2α（分子分母同除以cos²α）
=22×2tanα+(1-tan2α)1+tan2α=1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=π4，而∠C=π3，
根据正弦定理易AB=BC•sinπ3sinπ4=2×3222=6，
sinB=sin[π-(A+C)]=sin75°=6+24
S△ABC=12×AB×BC×sinB=12×6×2×6+24=3+32
（3）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，
∴Sn=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2

解析

2tanα1-tan2α

考点

据考高分专家说，试题“已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。