已知数列{an}满足a1=-1，an+1-2an-3=0数列{bn}满足bn=log2．求{bn}的通项公式；若数列{2n+1bn}的前

题文

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+3）．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）若数列{2ⁿ⁺¹b_n}的前n项的和为s_n，试比较s_n与8n²-4n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由有a_n+1-2a_n-3=0，得：a_n+1+3=2（a_n+3），
∴a_n+3=（a₁+3）2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=log₂2ⁿ=n；
（2）∵S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹①
①×2得：2S_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²②
①-②得：S_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=4(1-2n)1-2-n×2n+2，
∴S_n=4+（n-1）×2ⁿ⁺²，
∴S_n-（8n²-4n）=4+（n-1）×2ⁿ⁺²-8n²+4n=（n-1）2ⁿ⁺²-4（2n+1）（n-1）=4（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]
当n=1时，S_n-（8n²-4n）=0，即S_n=8n²-4n；
当n=2时，S_n-（8n²-4n）=4×（2²-5）=-4，即S_n＜8n²-4n；
当n=3时，S_n-（8n²-4n）=4×2×（2³-7）=8，即S_n＞8n²-4n；
当n＞3时，由指数函数的图象知总有2ⁿ＞（2n+1），
∴n＞3时，有S_n＞8n²-4n．

解析

4(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=-1，an+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。