已知数列{an}满足：a1=λ，an+1=23an+n-2，其中λ∈R是常数，n∈N*．若λ=-3，求a2、a3；对∀λ∈R，求数列{an}的前n项

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=λ，an+1=23an+n-2，其中λ∈R是常数，n∈N^*．
（1）若λ=-3，求a₂、a₃；
（2）对∀λ∈R，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若λ+12＞0，讨论{S_n}的最小项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=-3，a₂=23a1+（1-2）=-3，a₃=23a₂+（2-2）=-2．
（2）设b_n=a_n+αn+β，α、β∈R是常数，代入得bn+1-α(n+1)-β=23(bn-αn-β)+n-2，
解-α=-23α+1-α-β=-23β-2，
得α=-3β=15，即b_n=a_n-3n+15，bn+1=23bn．
若λ≠-12，则{b_n}是首项为b₁=λ+12≠0、公比为q=23的等比数列，
所以{b_n}的前n项和Tn=b1(1-qn)1-q=3(λ+12)[1-(23)n]
数列{3n-15}的前n项和为(3n-15)+(3-15)2×n=n(3n-27)2，所以Sn=3(λ+12)[1-(23)n]+n(3n-27)2．
若λ=-12，则b_n=0，a_n=3n-15，Sn=n(3n-27)29．
综上所述，∀λ∈R，Sn=3(λ+12)[1-(23)n]+n(3n-27)2．
（3）an=(λ+12)(23)n-1+3n-15=(23)n-1[(λ+12)+(32)n-1(3n-15)]，
a₁=λ，a2=23(λ-32)，a3=49(λ-32)，a4=827(λ+158)，
当n≥5时a_n＞0，
所以，当λ＞32时，∀n∈N^*有a_n＞0，{S_n}的最小项是S₁；
当λ=32时，{S_n}的最小项是S₁、S₂和S₃；
当-158＜λ＜32时，{S_n}的最小项是S₃；
当λ=-158时，{S_n}的最小项是S₃和S₄；当-12＜λ＜-158时，{S_n}的最小项是S₄．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=λ，an+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。