已知数列{an}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*，n＞1)，a1=2求证：数列{an}的通项公式为an=n求数列{1an}的前n

题文

已知数列{a_n}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*，n＞1)，a₁=2
（I）求证：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）
（II）求数列{1an}的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜110成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（I）由3S_n=（n+2）a_n
得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2）
二式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1
∴anan-1=n+1n-1(n≥2)
∴an-1an-2=nn-2；…；a3a2=42；a2a1=31；a1=2
叠乘得：a_n=n（n+1）（n∈N^*）（7分）
（II）∵1an=1n(n+1)=1n-1n+1
∴Tn=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1（10分）
（III）令|Tn-1|=|nn+1-1|=1n+1＜110
得：n+1＞10，n＞9
故满足条件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N^*}是一个这样的集合（12分）

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足anan-1=n+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。