下表给出的是由n×n）个正数排成的n行n列数表，aij表示第i行第j列的一个数，表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d，表中各行，

题文

下表给出的是由n×n（n≥3，n∈N^*））个正数排成的n行n列数表，a_ij表示第i行第j列的一个数，表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q，已知a13=14， a23=38， a32=1．
（1）求a₁₁，d，q的值；
（2）设表中对角线上的数a₁₁，a₂₂，a₃₃，…，a_nn组成的数列为{a_n}，记T_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn，求使不等式2ⁿT_n＜4ⁿ-n-43成立的最小正整数n．
a₁₁a₁₂a₁₃…a_1na₂₁a₂₂a₂₃…a_2na₃₁a₃₂a₃₃…a_3n……………a_n1a_n2a_n3…a_nn 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据题意，∵a_ij表示第i行第j列的一个数，表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q，
所以可得得a11q2=14(a11+d)q2=38(a11+2d)q=1，
∴a11=1，d=12，q=12
（2）ann=an1qn-1=(n+1) (12)n
∵T_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn，
∴Tn=2×12+3×(12)2++(n+1)(12)n
∴12Tn=2×(12)2+3×(12)3++(n+1)(12)n+1
两式相减整理得：∴Tn=3-n+32n
∴4ⁿ-3×2ⁿ-40＞0，∴n＞3
故使不等式2ⁿT_n＜4ⁿ-n-43成立的最小正整数n为4．

解析

a11q2=14(a11+d)q2=38(a11+2d)q=1

考点

据考高分专家说，试题“下表给出的是由n×n（n≥3，n∈N*）.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。