已知a1=b1=1，an+1=bn+n，bn+1=an+n，n∈N*．求a3，a5的值；求通项公式an；求证：1a1+1a2+1a3+

题文

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）求a₃，a₅的值；
（2）求通项公式a_n；
（3）求证：1a1+1a2+1a3+…+1an＜134 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）b₂=a₁-1=0，∴a₃=b₂+2=2，a₅=a₃+3=5；
（2）由题意，a₃=a₁+1，a₅=a₃+3，，a_2n-1=a_2n-3+（2n-3），
∴a2n-1=a1+(1+2n-3)(n-1)2=n2-2n+2；
同理，a_2n=n²+n，∴an=n2-2n+54n为奇数n24+n2   n为偶数；
（3）当n≥3时，1a2n-1=1n2-2n+2＜1n(n-2)=12(1n-2-1n)，
而1a2n=1n(n+1)=1n-1n+1，(n∈N*)，∴1a1+1a2+1a3++1a2n=(1a1+1a3++1a2n-1)+(1a2+1a2++1a2n)
＜1a1+1a3+12(1+12-1n-1-1n)+(1-1n+1)＜1+12+34+1=134

解析

(1+2n-3)(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知a1=b1=1，an+1=bn+n，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。