数列{an}中，a3=1，a1+a2+…+an=an+1．求a1，a2，a4，a5；求数列{an}的前n项和Sn；设bn=log2

题文

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₄，a₅；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，有a₁=a₂；当n=2时，有a₁+a₂=a₃；…
∵a₃=1，
∴a₁=12，a₂=12，a₄=2，a₅=4．…（4分）
（Ⅱ）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，…（6分）
∴2S_n=S_n+1
∴Sn+1Sn=2…（8分）
∴{S_n}是首项为S₁=a₁=12，公比为2的等比数列．
∴S_n=12•2^n-1=2^n-2…（10分）
（Ⅲ）由S_n=2^n-2，得b_n=n-2，
∴b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，
∵c_n•b_n+3•b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，
∴c_n•（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）2^n-2，
即c_n=n•2^n-2．  …（12分）
T_n=1×2^-1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+n•2^n-2…①
则2T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1…②
②一①得
T_n=n•2^n-1-2^-1-2⁰-2¹-…-2^n-2=n•2^n-1-2-1(1-2n)1-2=n•2^n-1+12．…（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a3=1，a1+a2+….....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。