已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{bn}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．求a及b

题文

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*．设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比．
（Ⅰ） 求a及b_n；
（Ⅱ） 设数列{log2a_n}的前n项和为T_n．求使T_n＞b_n的最小正整数n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，
∴a₁=S₁=2-a，
a₂=（2²-a）-（2-a）=2，
a₃=（2³-a）-（2²-a）=4，
∵a22=a1•a3，
∴2²=（2-a）•4，解得a=1，
∴an=2n-1．
∵公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比数列，
∴b1=3(b4+5)2=(b2+5)(b8+5)，
∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8，
∴b_n=8n-5，n∈N^*．
（Ⅱ）∵an=2n-1，∴log2a_n=log2(2n-1)=2（n-1），
∴数列{log2a_n}的前n项和
T_n=2（1-1）+2（2-1）=2（3-1）+2（4-1）+…+2（n-1）
=2[0+1+2+3+…+（n-1）]
=2×n(n-1)2
=n（n-1）．
∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，
∴n（n-1）＞8n-5，
∵n∈N^*，∴n≥9，
∴使T_n＞b_n的最小正整数n的值是9．

解析

b1=3(b4+5)2=(b2+5)(b8+5)

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。