数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+an=-n恒成立．求数列{an}的通项公式；bn=ln，求{anbn}的前n项和；（

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+a_n=-n（n∈N^*）恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=ln（a_n+1），求{a_nb_n}的前n项和；
（3）求证：12a1a2+122a2a3+…+12nanan+1＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n+a_n=-n①
∴n≥2时，S_n-1+a_n-1=-n+1②
①-②可得2a_n=a_n-1-1
∴2（a_n+1）=a_n-1+1
又a₁=-12，∴{a_n+1}是以12为首项，12为公比的等比数列
∴a_n+1=(12)n，∴a_n=(12)n-1；
（2）b_n=ln（a_n+1）=nln12，∴a_nb_n=[(12)n-1]•nln12，
∴{a_nb_n}的前n项和为ln12[12+2•(12)2+…+n•(12)n]-n(n+1)2•ln12
令T_n=ln12[12+2•(12)2+…+n•(12)n]，则12T_n=ln12[(12)2+2•(12)3+…+（n-1）•(12)n+n•(12)n+1]，
两式相减，可得T_n=ln12（2-12n-1-n2n）
∴{a_nb_n}的前n项和为ln12（2-12n-1-n2n）-n(n+1)2•ln12；
（3）证明：由（1）知，12nanan+1=-2（112n-1-112n+1-1）
∴12a1a2+122a2a3+…+12nanan+1=-2（1121-1-1122-1+1122-1-113-1+…+112n-1-112n+1-1）
=-2（1121-1-112n+1-1）＜2
∴12a1a2+122a2a3+…+12nanan+1＜2．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。