设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1．求数列{an}的通项公式；设数列{cn}满足cn=1log2(ann+1)+

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足cn=1log2(ann+1)+3(n∈N*)，T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式4mT_n＞c_n恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=4（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ⇒a_n=2a_n-1+2ⁿ（2分）
an2n=an-12n-1+1，
∴{an2n}是首项为2，公差为1的等差数列（3分）an2n=2+n-1⇒an=(n+1)•2n（5分）
（2）cn=1n+3，cn•cn+1=1n+3•1n+4=1n+3-1n+4（7分）Tn=14-15+15-16+16-17++1n+3-1n+4=14-1n+4=n4(n+4)（9分）
4mT_n＞c_n对一切n∈N^*恒成立，则m＞(n+4)n(n+3)（11分）
而n+4n(n+3)=n+4n2+3n=n+4(n+4)2-5(n+4)+4=1(n+4)+4n+4-5≤54（13分）
m＞54（14分）

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。