已知数列{an}中a1=1，a2=2，数列{an}的前n项和为Sn，当整数n＞1时，Sn+1+Sn-1=2都成立，则数列{1anan+1}的前n项

题文

已知数列{a_n}中a₁=1，a₂=2，数列{a_n}的前n项和为S_n，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，则数列{1anan+1}的前n项和为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由于a₁=1，a₂=2，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，
所以S₁=a₁=1，S₂=3，S₃=7，故a₃=4，
由于数列{a_n}中数列{a_n}的前n项和为S_n，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，
则S_n+2+S_n=2（S_n+1+S₁）所以a_n+2+a_n=2a_n+1，则数列{a_n}从第二项起为等差数列，
则数列a_n=1，n=12n-2，n≥2，所以n＞1时，1anan+1=1(2n-2)(2(n+1)-2)=12n-2-12(n+1)-2=12n-2-12n，
故数列{1anan+1}的前n项和为T_n=(1-12)+12[(12-14)+(14-16)…+(12n-2-12n)]=12+12(12-12n)=3n-14n．
故答案为3n-14n．

解析

1，n=12n-2，n≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中a1=1，a2=2，数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。