设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．求数列{an}的通项公式；令

题文

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=1n(n+1)+a2n，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得：a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)2=3a2.
解得a₂=2．
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a1=2q，a3=2q．
又S₃=7，可知2q+2+2q=7，
即2q²-5q+2=0，
解得q1=2，q2=12．
由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1．
故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1．
（2）bn=1n(n+1)+a2n=1n(n+1)+22n-1
T_n=（11×2+2）+（12×3+2³）+…+[1n×(n+1)+2^2n-1]
=[11×2+12×3+…+1n×(n+1)^_]+（2+2³+…+2^2n-1）
=[（1-12）+（12- 13）+…+（1n-1n+1）]+2(1-4n)1-4
=（1-1n+1）+2(4n-1)3
=22n+13+ 13- 1n+1

解析

a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。