已知数列{an}、{bn}满足a1=2，an-1=an，bn=an-1．求数列{bn}的通项公式；求数列{2nbn}的前n项和D

题文

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（ II）求数列{2nbn}的前n项和D_n；
（ III）若数列{b_n}的前n项和为S_n，设 T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由b_n=a_n-1得 a_n=b_n+1代入 a_n-1=a_n（a_n+1-1），
得 b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得 b_n-b_n+1=b_nb_n+1．（2分）
∵b_n≠0，否则 a_n=1，与 a₁=2矛盾．
从而得 1bn+1-1bn=1，
∵b₁=a₁-1=1
∴数列 {1bn}是首项为1，公差为1的等差数列．（4分）
∴1bn=n，即bn=1n．（6分）
（II）2nbn=n•2n
∴Dn=2+2•22+3•23+…+n•2ⁿ（1）
∴2Dn=1•22+2•23+3•24+…+n•2ⁿ⁺¹（2）（6分）
-Dn=2+22+23+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n•2n+1，
∴Dn=(n-1)2n+1+2．（8分）
（III）∵Sn=1+12+13+…+1n，
∴T_n=S_2n-S_n=（1+12+13+…+1n+1n+1+…+12n）-（1+12+13+…+1n）
=1n+1+1n+2+…+12n．（12分）
证法1：∵Tn+1-Tn=1n+2+1n+3+…+12n+2-（1n+1+1n+2+…+12n）
=12n+1+12n+2-1n+1
=12n+1-12n+2=1(2n+1)(2n+2)＞0
∴T_n+1＞T_n．（14分）
证法2：∵2n+1＜2n+2，
∴12n+1＞12n+2，
∴Tn+1-Tn＞12n+2+12n+2-1n+1=0．
∴T_n+1＞T_n．（12分）

解析

1bn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}、{bn}满足a1=2，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。